三角形abc中角c90度d为bc边上一点三角形ABC中,角C=90度,D为BC边上一点,M为BD中点,角AMD=角CMD.求证:角ADB=2倍角ABD?

更新时间:2019-07-28    来源:范文大全    手机版     字体:

【三角形abc中角c90度d为bc边上一点】三角形ABC中,角C=90度,D为BC边上一点,M为BD中点,角AMD=角CMD.求证:角ADB=2倍角ABD?

三角形ABC中,角C=90度,D为BC边上一点,M为BD中点,角AMD=角CMD.求证:角ADB=2倍角ABD?

已知:

△ABC中,∠ABC=90°,D为BC边上一点,M为BD中点,∠AMD=∠CMD.

求证:∠ADB=2∠ABD?

解:

作AE平行DB,交CB的延长线于点E,作CM的延长线交AE于点N,连接BN。

∵∠ABC=90°,

∴∠ABE=90°,△∠ABE是Rt△;

∵M是BD的中点(即CM是△CBD中BD边上的中线),且AE∥DB,

∴CN也是△CEA中EA边上的中线,N为AE的中点

∴BN是Rt△ABE底边上的中线;

∴AN=EN=BN;

∴∠ABN=∠BAN=∠ABD(等边对等角,内错角相等),

∴∠MBN=2∠ABD。……………………………………①

∵AE∥DB,

∴∠NAM=∠AMD(内错角),∠CMD=∠MNA(同位角),

又∠AMD=∠CMD(已知),

∴∠NAM=∠AMD=∠CMD=∠MNA(等量代换),

∴MN=MA。……………………………………………②

在△AMD和△NMB中,

∵MD=MB(已知),由②证明:MN=MA,

∠AMD=∠CMD=∠NMB(对顶角相等),

∴△AMD≌△NMB。(边角边)

∴∠ADB=∠ADM=∠MBN=2角ABD(由①代换可得)。

即:∠角ADB=2∠ABD。

本文来源:http://www.cyloushi.cn/news/113527.html

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